Cálculo de la potencia disipada en una cama caliente de una impresora 3D¶
- Asignatura: Tecnlogía de Circuitos Impresos
- Alumno: Jose Francisco Dafos Alex
- DNI: *********
- Profesor:: Andrés Roldán Aranda
- Fecha de entrega: 11 de noviembre de 2024
Ejercicio 1: Calcular el valor de la resistencia equivalente que se ve entre los terminales de la PCB para un espesor de cobre de 17.5 y 35 $[\mu m]$.¶
En este ejercicio, se pide calcular el valor de la resistencia equivalente entre los terminales de la PCB objeto de estudio. En la figura 1.1 se puede observar el layout general de la misma:
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| [Figura 1.1] Layout en Altium de la cama caliente de la impresora 3D |
Si nos acercamos a la zona inferior (figura 1.2), se pueden observar los terminales a partir de los cuales se calculará la resistencia equivalente:
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| [Figura 1.2] Zoom en los terminales de la placa |
En la figura 1.2, se pueden observar los dos terminales de la placa. Conectada a TP1 se encuentra una resistencia $R=1\:[k\Omega]$, a la cual se conectan dos diodos LED en paralelo directamente con TP2. Además, los nodos TP1 y TP2 quedan conectados a las líneas de transmisión (representadas en azul) que se pueden observar en la figura 1.1. Por lo tanto, el circuito se puede modelar tal y como aparece en la figura 1.3:
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| [Figura 1.3] Modelado del layout de la cama caliente de impresión 3D |
En la figura 1.3, las resistencias $R_{P1}$, $R_{P2}$, $R_{P3}$, $R_{P4}$ corresponden a las resistencias equivalentes de las líneas de transmisión. A partir de este esquemático, se pueden simplificar los diodos LED como fuentes de tensión en serie con una resistencia (la cual se va a considerar despreciable), tal y como se puede observar en la figura 1.4:
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| [Figura 1.4] Modelado simplificado de la cama caliente de impresión |
Antes de continuar, se considera preciso calcular la resistencia de cada una de las líneas de transmisión ($R_{P1}$, $R_{P2}$, $R_{P3}$, $R_{P4}$), para lo cual se va a hacer uso de la siguiente expresión:
$$ R = \rho \cdot \frac{L}{S} $$Donde:
- R: Resistencia [$\Omega$]
- $\rho$: Resistividad [$\Omega \cdot m$]
- L: Longitud [m]
- S: Superficie [$m^2$]
En el enunciado se nos menciona que se utilizan láminas de cobre, por lo que con una simple búsqueda se puede determinar el parámetro de resistividad, el cual es $\rho = 1.68 \cdot 10^-8 [\Omega \cdot m]$
El parámetro de superficie $S$ puede determinarse a partir de los datos de la figura 1.5:
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| [Figura 1.5] Tabla con los datos para el cálculo del espesor del conductor |
Para ello, se va a diferenciar entre dos espesores de cobre, de $17.5\:[\mu m]$ y $35\:[\mu m]$. Estos valores son los nominales, por lo que se va a utilizar los valores mínimos de referencia que aparecen en la figura 1.5, es decir, $11.4\:[\mu m]$ y $24.9\:[\mu m]$. Para calcular el ancho de la línea, se va a medir directamente haciendo uso de Altium. Una vez hecho esto, el valor del ancho de las líneas es de $W=43.307\:[mil] = 1.0999\:[mm]$.
A partir de estos valores, se puede aproximar el valor de cada una de las resistencias, sumando la longitud total de cada una de las líneas (39 en total por cada resistencia) por resistencia, siendo cada una de $L_{linea} = 7830.706\:[mil] = 0.1989\:[m]$.
Por lo tanto, con un espesor de $11.4\:[\mu m]$ cada $R_P$ vale:
$$ R_P = \rho \cdot \frac{L}{S} = 1.68 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{39\cdot0.1989}{11.4 \cdot 10^{-6} \cdot 1.0999 \cdot 10^{-3}} = 10.393\:[\Omega]$$En el caso de tener un espesor de $24.9\:[\mu m]$, cada $R_P$ vale:
$$ R_P = \rho \cdot \frac{L}{S} = 1.68 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{39\cdot0.1989}{24.9 \cdot 10^{-6} \cdot 1.0999 \cdot 10^{-3}} = 4.758\:[\Omega]$$Por lo tanto, la resistencia equivalente a las cuatro resistencias en paralelo es:
$$ R_{P_{eq}} = R_{P1}\://\:R_{P2}\://\:R_{P3}\://\:R_{P4} = \frac{R_P}{4}$$Por lo tanto, con un espesor de $11.4\:[\mu m]$ se tiene: $$R_{P_{eq}}=\frac{10.393}{4}=2.59825\:[\Omega]$$
Por otro lado, con un espesor de $24.9\:[\mu m]$ se tiene: $$R_{P_{eq}}=\frac{4.758}{4}=1.1895\:[\Omega]$$
Por lo tanto, la resistencia equivalente de la cama caliente sería el paralelo de la resistencia de $1\:[k\Omega]$ con la resistencia equivalente en paralelo calculada:
Con un espesor de $11.4\:[\mu m]$ se tiene:
$$ R_{eq_{total}} = R_{1\:[k\Omega]} // R_{eq_{paralelo}} = 2.5915\:[\Omega]$$Con un espesor de $24.9\:[\mu m]$ se tiene:
$$ R_{eq_{total}} = R_{1\:[k\Omega]} // R_{eq_{paralelo}} = 1.188\:[\Omega]$$Estos resultados tienen sentido, ya que al obtener una resistencia equivalente muy baja, la corriente será muy alta, haciendo que la cama se caliente hasta la temperatura deseada mediante el efecto Joule.
Ejercicio 2: Estimación de la corriente a través de la resistencia equivalente al alimentar la PCB con 12 V¶
Una vez calculada la resistencia equivalente entre los terminales, es sencillo calcular la corriente que circula a través de ella al alimentarla con $12\:[V]$. Para ello, se hace uso de la ley de Ohm:
$$ V=I \cdot R $$Por lo tanto:
$$ I = \frac{V}{R} = \frac{12}{R} $$En el caso de tener un espesor de $11.4\:[\mu m]$ se tiene:
$$ I = \frac{V}{R} = \frac{12}{2.5915} = 4.6305\:[A]$$En el caso de tener un espesor de $24.9\:[\mu m]$ se tiene:
$$ I = \frac{V}{R} = \frac{12}{1.188} = 10.10\:[A]$$¿Cambiaría la potencia disipada si se alimenta con 12 V en AC?¶
La potencia disipada al alimentar la resistencia en AC variará con respecto a DC. Esto se debe a que el voltaje eficaz de una señal alterna es menor que el voltaje pico, definiendose como:
$$ V_{eficaz} = \frac{V_{AC}}{\sqrt{2}} $$Es por esto que la potencia disipada varía con respecto a la disipada en DC, ya que en este caso la potencia se calcularía de la siguiente manera:
$$ P_{disipada_{AC}} = \frac{V_{eficaz}^2}{R} $$Por otro lado, la potencia disipada en DC se calcula de la siguiente manera:
$$ P_{disipada_{DC}} = \frac{V^2}{R}$$Como $V_{eficaz}$ es menor que $V_{DC}$, se puede afirmar que la potencia disipada en AC es menor que la disipada en DC.